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风速的重现期换算

写在前面的话

熟悉的老伙伴,都知道写在前面的话,经常是题外话,不过似乎感兴趣的人更多。今天也先来点题外话。
一般可以认为,活荷载、风荷载、雪荷载符合极值I型分布(Gumbel分布)。那么股市的估值会是什么分布呢?


注:这是2013年机器喵先生分析的结果。(其实A股分析存在一个问题,上证综指是失真的无法反应全市场的情况。)

感兴趣的可以继续研究一下。话说,数学的确是我们认识世界的好工具。本人惭愧,学艺不精,美好E=MC2的精神境界令人向往。
好了,回到正题。


年最大风速分布可以认为符合极值I型分布(Gumbel分布)

分布函数为
G_I(x)=e^{-e^{-y(x)}}
表示任意年份的极值xi小于任意选定值x的概率。其中,
y=\alpha(x-\mu)
\alpha=\frac{C_1}{\sigma}
\mu=\bar{x}-\frac{C_2}{\alpha}
其中,\bar{x}和σ分别为n个年度极值xi的平均值和标准差。变异系数为 \nu=\frac{\delta}{\bar{x}}
可以看出C1和C2其实分别就是y的标准差和平均值,它与观测序列的长度n有关。

x的年超越概率为
G(x)=1-G_I(x)

重现期为超越概率的倒数
T(x)=\frac{1}{G(x)}

将GI(x)带入,得
\frac{1}{T}=1-e^{-e^{-y}}

两侧取对数,得
y=-\ln(-ln{(1-\frac{1}{T}})
可以看出,重现期T不依赖于x的均值和标准差。
另外,当T比较大时,可由泰勒展开公式简化,y≈lnT

重现期为T的最大风速x可以表达为:
x=\mu-\frac{y}{\alpha}
x=\bar{x}-\frac{\sigma}{C_1}(C_2-y)
x=\bar{x}\left(1+\frac{\delta}{\bar{x}}(\frac{y-C_2}{C_1})\right)
x=\bar{x}\left(1+\nu\frac{y-C_2}{C_1}\right)


K_{sp}=\frac{\nu}{C_1-C_2\nu}

则各重现期与50年重现期的转换系数可以表示为
C_{prob}=\frac{x_T}{x_{50}}=\frac{1-K_{sp}\ln(-\ln{\left(1-\frac{1}{T}\right))}}{1-K_{sp}\ln(-\ln{\left(1-\frac{1}{50}\right))}}
Cprob只与重现期T、变异系数ν、测量序列的长度n(样本年数)有关。


其中关于C1和C2的计算

可以用经验分布函数(它实际就是累积频率直方图的上边)来近似GI(x)。
y\left(x\right)=-\ln(-\ln{\left(G_I\left(x\right)\right)})

则y的值可取为1到n个zi
z_i=-\ln(-ln\frac{i}{n+1})

则有
C_1=\sigma_z=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(z_i-\bar{z})}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{z_i^2-{\bar{z}}^2}
C_2=\bar{z}
当n无限大时, C_1=\frac{\pi}{\sqrt{6}} , C_2=0.57722 (为欧拉常量)


工程实践中各重现期风速与50年重现期的转换可以参考以下情况:

1. 在EN50341-1中,采用上面的推导的公式,其中风速的变异系数取0.12,观测数据取30年,则Ksp=0.114。转换系数为
C_{prob}=0.692-0.079ln(-ln(1-\frac{1}{T}))

2. 在ASCE7中,根据文献Peterka, J.A., and Shahid, S. (1998). Design gust wind speeds in the United States. J. Struct. Eng. 124(2), 207–214.。对于非飓风区转换系数为
C_{prob}=0.36+0.10ln(12T)

3. 在中国规范中,根据文献《结构风工程:理论规范实践》。转换系数为
C_{prob}=\sqrt{\frac{(0.363log{T}+0.463)}{1.08}}

4. 在EN1991-1-4中,风压的变异系数取24,观测数据取无穷。转换系数为
C_{prob}=\sqrt{0.562-0.112ln(-ln(1-\frac{1}{T}))}
(P.S. 对于Euorcode1的如此处理本人存疑?长重现期的风速会明显偏小。有知道原因的大神可以来讲讲)

各重现期风速与50年重现期的转换系数如下所示

重现期 EN50341-1, ν=0.12 GB ASCE7 EN1991-1-4
3 0.76 0.77 0.72 0.81
50 1.00 1.00 1.00 1.00
100 1.06 1.05 1.07 1.04
150 1.09 1.08 1.11 1.06
200 1.11 1.10 1.14 1.08
300 1.14 1.12 1.18 1.10
400 1.17 1.14 1.21 1.11
500 1.18 1.16 1.23 1.12
600 1.20 1.17 1.25 1.13
700 1.21 1.18 1.26 1.14
800 1.22 1.19 1.28 1.15
900 1.23 1.19 1.29 1.15
1000 1.24 1.20 1.30 1.16

小知识:设计基准期、重现期、设计使用年限间的关系。

重现期T为某事件出现或发生的平均时间间隔。

设计基准期N(是衡量基准,选定后不变,一般为50年)内的超越概率为
P_N=1-(1-\frac{1}{T})N
若年超越概率2%即重现期T=50年,设计基准期N=50年,则PN=63%

设计使用年限L(根据业主要求确定,一般为50年或100年)内的超越概率为
P_L=1-(1-\frac{1}{T})L
移项后两边取对数
ln(1-\frac{1}{T})=\frac{ln(1-P_L)}{L}
当T较大时,由泰勒展开公式, ln(1-\frac{1}{T})\approx-\frac{1}{T}
T≈-\frac{L}{ln(1-P_L)}

令,设计使用年限L内的超越概率与50年设计基准期内的超越概率具有相同的水平
T\approx-\frac{L}{ln(1-63\%)}
则有T≈L,即重现期可取为与设计使用年限相同。
例如设计使用年限取100年时,对于风载采用100年重现期的风荷载即可。

中外结构风荷载的转换

对于风速记录,一般取平均风的时距为10min~1h较为稳定。国际上,多数国家(如中国规范、欧洲规范)将平均风时距取为10min,但也有国家将平均风时距取为3s的瞬时风速(如美国规范),也有的国家取1h(如加拿大)。

对于涉外项目,中国的工程师一般除直接采用当地规范设计外,通常还会采用中国规范验算一遍,或概念上用中国规范进行估计。这就涉及到自然荷载的转换问题,经常遇到的是如何将3s阵风风速转换为10min风速的情况。如果不考虑各国规范体系整体的差异,仅从气象学的角度看,这种风时距的转换就是求阵风因子的问题。

风速可以表达为平均风+脉动风
Vt =VT0+u(t)

定义峰值因子g为脉动风分量的最大值与其标准差之比
g=umaxu

定义湍流强度为脉动风标准差与平均风的之比
Iuu/Vt0

相应的阵风风速可以表达为
Vt=VT0+g*σu

定义阵风因子为阵风风速与平均风速的之比
Kt=Vt/VT0=1+g*Iu

为便于直观理解以文献World Meteorological Organization, Guidelines for Converting between Various Wind Averaging Periods in Tropical Cyclone Conditions, 2010中给出的1989年强热带气旋奥森的实测结果为例。

测量点在距澳大利亚西海岸130km的海上钻井平台。

图中给出的结果包括:
V600——10min平均风速
V60——1min平均风速
V60,600——10min内的1min平均最大风速
V3,600——10min内的3s平均最大风速
V3,3600——1小时内的3s平均最大风速
风速时程曲线持续3小时,展现了台风眼经过测量点的全过程。从风速时程曲线可以看到,1min平均风速围绕10min平均风速上下波动,随时间的变化较为频繁。对风速进行平均时选取的时距越小,得到的最大值就越大。

下图是台风条件下,不同时距平均得到的最大风速与1小时平均风速之间的换算系数,该换算系数即为“阵风因子”。可以看出,虽然各组数据的趋势一致,时距越短,阵风因子越大。

工程实践中可以参考美国规范ASCE/SEI 7-16中给出了不同时距的平均最大风速与1小时平均风速的转换曲线进行转换。

上图的实线用于常态风,是文献Durst C. S., Wind speeds over short periods of time, Meteorological Magazine, 89, 181-186, 1960中,根据实测资料给出了1小时平均风速换算为不同时距平均最大风速的换算系数。

上图的虚线用于飓风。该ESDU曲线可按文献Engineering Science Data Unit, Item No. 83045, Strong winds in the atmospheric boundary layer. II: Discrete gust speeds., London, 2002进行计算。

结论:
1、3s阵风风速转换为10min风速的转换系数为1.43。其它风时距也可参考以上内容得到。文中的计算采用MathCAD 15,如有需要源文件可以联系我。

2、另外采用美标ASCE7-16时要注意,它的重现期和ASCE7-05不同了。如果要转为50年的重现期,需要进行重现期的换算。
得到校对的自然荷载后,其实后续的中美风荷载的计算还有三点主要区别:
1) 中国规范不考虑风向折减,在计算主体结构风荷载时也不考虑内部风压;
2) 风速压力的定义不同,中国和美国分别采用了平均风和阵风对应的风速压力;
3) 中国的风振系数代表的是基于平均风荷载的放大倍数,而美国的阵风效应因子则是基于阵风荷载的调整系数。

3、重要的就是要记住,各国规范不能混用,因为规范体系中考虑了各自的可靠度匹配。自然荷载需要校对为,各自规范规定的参考基准的后方可使用。

特征湍流

© Written by J.Y. WANG

自然风状态下的大气边界层湍流可以看作是由平均风输运的一些尺度不同的旋涡的叠加;在统计上,可被处理为一平稳的高斯过程,采用达文波特谱或其他脉动风速谱来描述[8]。当大气边界层湍流遇到建筑物后,会不可避免的产生分离、再附、旋涡脱落等现象,使其内部结构遭到破坏[9],此时的流动过程在统计特性上已明显区别于自然风状态下的大气边界层湍流,且与结构本身的几何特性密切相关[10],因此称之为特征湍流。

 

图2.2 大跨度屋盖结构绕流示意图

特征湍流的形成主要与流体的粘性效应有关,当风绕建筑物流动时,与结构表面接触的流体微粒会贴附在结构表面上;由于粘性效应靠近表面的一层流体微粒将减慢流动,形成跗面层;这一过程一直持续到粘性力减弱为零,此时的流体微粒流动速度就等于外层气流的速度。当附面层的外层流速大于内层流速时,就会在附面层内形成较大的逆压梯度,导致附面层分离。分离作用形成了一系列离散旋涡,并脱落到钝体后方的尾流中,这些旋涡使得分离点附近出现非常大的吸力。在一定的来流湍流强度和攻角条件下,自建筑物前缘分离的附面层会再附到建筑物表面,这时附面层下会形成不通气的空腔(分离泡),使得靠近建筑物前缘的附面层下产生负压。

特征湍流对屋盖风荷载的作用可以概括为以下几方面:

(1)屋面风压主要以风吸力为主,并直接导致屋面出现局部风吸力极值。

(2)使屋面的大部分区域处于来流的再附区,由于再附作用是在分离泡破碎后形成的,此时旋涡的组织结构已经被破坏,因此屋盖表面的风压相关性总体较弱。

(3)拟定常假设无法无法适用[11]。目前风荷载作用的估计通常都基于拟定常假设,即建筑物表面的风压与大气边界层来流之间具有完全的相关性,即屋面风压的变化特性与来流的变化特性一致,二者之间的关系可以用Bernoulli方程表示。Kawai(1983)曾对方柱表面的脉动风压功率谱进行过测量,结果如下图所示[12]。可以看出,在迎风面脉动风压的功率谱与大气来流的Karman谱十分接近,说明在迎风面上可以采用拟定常假定;但是在来流平行的侧表面上,脉动风压的功率谱则与根据拟定常假设所确定的功率谱差别较大,而这种差别正是由于来流的分离和再附作用造成的。

 

图2.3 方柱表面脉动风压功率谱

研究表明,特征湍流是导致建筑物表面出现局部风压极值的主要原因,研究特征湍流的发生、发展过程,对于认识建筑物的风致破坏机理具有十分重要的意义。在这方面,国外的学者已开展了一些研究。Kawai[13]借助热线探头测量低矮屋盖上方的绕流场,得到旋涡中心的平均位置,即旋涡速度场旋转中心的位置,结果证实位于屋盖表面最大风吸位置之上;Bienkiewicz[14]将低矮房屋屋盖拐角区域的风压分布同流场可视化结果进行了比较,认为风压变化梯度最大的位置为屋盖上旋涡的再附处;Kawai和Nishimura[16]同步测的低矮平屋盖表面风压及来流风速时程,基于整个屋盖表面风压脉动相关性得出屋盖上方作用的一对锥形涡在横风向出现同步交替波动,如下图所示,即锥形涡形状不变,但轴线OB、OD同步波动到OA、OC,使得关于屋盖对角线对称点的风压呈反相变化。但是以上的研究对象主要是低矮建筑,对于大跨度屋盖的研究还很少。由于大跨度屋盖表面风压特性不仅与来流特性有关,还会的更多的受到建筑物自身特征湍流的影响。因此研究大跨度屋盖的特征湍流特性,对于完善大跨度屋盖抗风设计具有重要意义。

 

图2.4 低矮房屋平屋盖上锥形涡的交替波动

由于特征湍流的复杂性,目前还没有形成一套成熟的分类方法,以下只给出几种常见的特征湍流形式。如当来流垂直于平屋盖迎风外边缘时,来流在平屋盖的前缘会发生分离,形成一个明显的柱状涡;当来流同平屋盖外边缘有夹角时,会形成一对锥状涡;及高层建筑在侧面形成的马蹄涡,也称移动式锥形涡等[15][16],这些都是特征湍流典型的旋涡形式。

 

图2.5 柱状涡和锥形涡

 

图2.6 马蹄涡